小时候 每个人最早接触的折纸，应该都是纸飞机，它流畅的外形加上简洁的线条，每个人都能够很轻易的学会，到了后来渐渐接触更多如千纸鹤等，其他一些入门级的折纸，为童年生活增添了不少乐趣。

在我们的日常生活中纸张通常扮演着无处不在却易被小觑的配角。或作为文字的载体，或包裹重要的实体。而在一些聪明人手中，它们似乎"活"过来了，有了全新、立体的角色定位。

01 折出圆锥曲线

"你会用纸折小船吗？"

"会！"

"你还会折些什么呢？"

"我会折的东西多啦，飞机、亭子、鸟、衣服，……，我能折好几十种东西呢。我还会用花纸折成小三角，再拼成许多立体图形，菠罗呀什么的。"

"那你真可以叫折纸专家了。不过我想问你：你能折出一条抛物线来吗？"

"……，!"

下面你就开始折纸了。当你把纸折过来，让F落到L上时，就得到一条折痕。就这样不断地改变点F落在L上的位置，于是就得到一系列的折痕，当折痕足够密的时候，你再打开纸仔细看看！

哈，一条抛物线跃然纸上。

这是什么缘故呢？

大家知道，抛物线是二次函数y＝ax2＋bx＋C（a≠0）的图形。不过抛物线还有一个悖性：抛物线上任何一点到一定点F及一定直线L的距离相等，这是解析几何中抛物线的定义。可以证明，满足这个条件的点组成的图形在适当的坐标系里正是二次函数的图形。这里L叫抛物线的准线，F叫抛物线的焦点。

下面我们就用这个特性来说明这个问题：　设点F与L上的点P重合时，得到的折痕为直线n。

作PT⊥L交直线n于T。由于直线n是FP的垂直平分线，故FT＝PT，而FT是T与点F的距离，PT是点T与l的距离，于是可知T点在以l为准线F为焦点的抛物线上，当改变P的位置时，点T就画出一条抛物线来了。

而对于直线n上异于T的点T′，作T′P′⊥l，就有FT′＝T′P＞T′P′。这就是说，直线n上异于T的点都在这条抛物线外。（就是说，直线n与抛物线切于点T）所以，这条抛物线实际上是用这些切线"围"出来的。"化直为曲"，一系列的直线围出了一条曲线。数学里有个专门名词，称抛物线是这一系列直线（直线族）的"包络"。

再来看一种包络抛物线：大家知道，高射炮弹在空中飞行的轨迹（在理论上，不计空气阻力时）是一条抛物线。高射炮炮管的仰角不同，就可以得到不同的抛物线。所有这些抛物线（抛物线族）有一条"包络"。这条包络也是抛物线，只要飞机在这包络之外飞行，就不会被高射炮击中。因此，这条包络又称为"安全抛物线"。

上面讲的是用折纸的办法得到一条抛物线。其实还可用折纸的办法得到一个椭圆。这只要先画（或剪）一个圆O，在圆内任取一点F，（F不与O重合）。然后就开始折纸。每次都让点F与圆周上的不同点重合，而得到不同的折痕，当折痕足够多时，你就可以发现，这些折痕就围出了一个椭圆。

实际上，椭圆是到两个给定点距离之和为定值（定值大于两定点距离）的点的轨迹，设点F与圆周上点P重合时的折痕为MN连OP交MN于T，贝OT＋TF＝OT＋TP＝圆的半径（为定值）。这就说明当P在圆周上运动时，点T就"动"出一个椭圆来。同样也可知MN上其它点到O与F距离和大于圆的半径。就是说，MN上其它点都在椭圆外，它又是椭圆的切线，这些"直线族"的"包络"是椭圆。

假如让点F与O重合，或把点F放到圆O外去，就可以分别得到"圆"与"双曲线"，你看，折纸还真有点名堂呢。

我们也可以这样折出椭圆曲线来，手头只有一个圆，怎么尽可能标准地画一个椭圆？折纸就可以办到。在圆中随意地选取一个圆心以外的点，不断地折叠圆形，让选中的点始终落在圆的边界上。经过不断的折叠，在圆中有一块区域，折痕始终进不去，通过严格的数学计算可以证明这就是一个椭圆，圆心和选定的点即为椭圆的两个焦点。实际上最开始我们把另一个焦点选在圆心上，我们就只能得到圆了。

我们可以使用类似的思路得到其他的图形，比如，我们选择的折痕把整个图形的面积分为特定的比例。

02 龙形曲线

在无聊的时候，很多人会有拿起手头的纸乱叠的癖好。不断地对折一条纸带，然后将其展开，让线段之间的夹角均为 90 度，我们就能得到一条龙形曲线[5]——因为它真的长得很像一条龙。不过因为叠纸的厚度增长是指数型的，每次折叠以后纸的厚度都会变为折叠前的两倍，所以在折叠 6-7 次以后就无法折叠了。所以我们在现实生活中看到的龙形曲线并不那么完美。

所幸计算机技术已经十分发达，利用计算机，我们可以看到折纸生成大型龙形曲线的样子。

因为龙形曲线最早由 NASA 物理学家 John Heighway 等人开始相关探索和研究，所以也被称为 Heighway 曲线。

不断地通过同一个规则迭代生成的龙形曲线,数学上可以通过不断迭代的方法产生龙形曲线：选定两个起始点,左右交替地将线段转换为以其为斜边的等腰直角三角形的另外两条边,不断重复第 2 步,回到我们的折纸问题上，龙形曲线其实也可以理解为一个人随机地选择左转或者右转前进，但是又从来不走重复的路，最后走过的路径最后会变成什么样？

说起龙形曲线本身最吸引科学家关注的地方，当然还是他的分形特性，以及带来的自相似性质了。在一幅龙形曲线图中，我们总可以找到一个较大的部分和一个较小部分的相似关系，宛如一条完全曲折的海岸线。通过比较图形尺寸变化与面积之间的关系，即可「定义」图形的维度。有趣的是，龙形曲线的维度恰好为 2。分形图案很多并不是 2，一般他们拥有分数维的维度。如科赫曲线，其维度为 1.26。这也就说明，龙形曲线有可能用来填充平面。也就是我们平常所说的铺地砖。

03 湿法折纸的方法

在我们的印象之中，折纸就应该是刚硬的线条，加上简洁的外形。然而来自越南的折纸艺术家Hoang Tien Quyet ，却改变以往普通的折纸方式，用一种名为"湿法折纸"的技术，创造出充满曲线，更加生动立体的折纸。"wet-folding"（湿法折纸）技术，由日本折纸大师吉泽章创造，吉泽章从1938年开始其从事折纸创作研究，是一位对折纸艺术产生深远影响的人物，简单来说就是将比较厚的纸张弄湿，以便创造出更为丰富的造型。

如果觉得文字版很难懂，折纸所用的纸张一般都比较薄和脆，时间长了就会散开而失去原来的造型，而硬一些的纸，在通过湿润后，可以很轻松的制作出非常漂亮的3D模型。当他们干了之后，这种神奇的效果会保持数年之久。

看到这你是不是也蠢蠢欲动想要自己尝试呢？其实湿法折纸的方法也很简单，

选用90g到160g重的纸张，用喷壶微微喷湿两面后迅速擦干，然后用手指肚进行造型，当你折叠的时候，一定要边折边思考，朝着你心中的目标一点点推进。

关于折纸，其实还有很多其他的应用。现在的人造卫星，大多使用太阳能电池板提供能量，但是怎么把太阳能电池板运上太空却是一个大问题。通过折纸的方式，先把太阳能电池板折叠起来，再在太空中展开，就是最为有效的方法，而这种折叠方式以其发明者命名——三浦折叠。

欣赏完这些折纸手工艺品，有没有觉得如此丰富由纸张塑造出的形象，仿佛真的只差注入一剂灵魂就会苏醒过来呢。